1(* Title: HOL/Statespace/StateSpaceEx.thy 2 Author: Norbert Schirmer, TU Muenchen 3*) 4 5section \<open>Examples \label{sec:Examples}\<close> 6theory StateSpaceEx 7imports StateSpaceLocale StateSpaceSyntax 8begin 9 10(*<*) 11syntax 12 "_statespace_updates" :: "('a \<Rightarrow> 'b) \<Rightarrow> updbinds \<Rightarrow> ('a \<Rightarrow> 'b)" ("_\<langle>_\<rangle>" [900,0] 900) 13(*>*) 14 15text \<open>Did you ever dream about records with multiple inheritance? 16Then you should definitely have a look at statespaces. They may be 17what you are dreaming of. Or at least almost \dots\<close> 18 19 20text \<open>Isabelle allows to add new top-level commands to the 21system. Building on the locale infrastructure, we provide a command 22\<^theory_text>\<open>statespace\<close> like this:\<close> 23 24statespace vars = 25 n::nat 26 b::bool 27 28print_locale vars_namespace 29print_locale vars_valuetypes 30print_locale vars 31 32text \<open>\noindent This resembles a \<^theory_text>\<open>record\<close> definition, 33but introduces sophisticated locale 34infrastructure instead of HOL type schemes. The resulting context 35postulates two distinct names @{term "n"} and @{term "b"} and 36projection~/ injection functions that convert from abstract values to 37@{typ "nat"} and \<open>bool\<close>. The logical content of the locale is:\<close> 38 39locale vars' = 40 fixes n::'name and b::'name 41 assumes "distinct [n, b]" 42 43 fixes project_nat::"'value \<Rightarrow> nat" and inject_nat::"nat \<Rightarrow> 'value" 44 assumes "\<And>n. project_nat (inject_nat n) = n" 45 46 fixes project_bool::"'value \<Rightarrow> bool" and inject_bool::"bool \<Rightarrow> 'value" 47 assumes "\<And>b. project_bool (inject_bool b) = b" 48 49text \<open>\noindent The HOL predicate @{const "distinct"} describes 50distinctness of all names in the context. Locale \<open>vars'\<close> 51defines the raw logical content that is defined in the state space 52locale. We also maintain non-logical context information to support 53the user: 54 55\begin{itemize} 56 57\item Syntax for state lookup and updates that automatically inserts 58the corresponding projection and injection functions. 59 60\item Setup for the proof tools that exploit the distinctness 61information and the cancellation of projections and injections in 62deductions and simplifications. 63 64\end{itemize} 65 66This extra-logical information is added to the locale in form of 67declarations, which associate the name of a variable to the 68corresponding projection and injection functions to handle the syntax 69transformations, and a link from the variable name to the 70corresponding distinctness theorem. As state spaces are merged or 71extended there are multiple distinctness theorems in the context. Our 72declarations take care that the link always points to the strongest 73distinctness assumption. With these declarations in place, a lookup 74can be written as \<open>s\<cdot>n\<close>, which is translated to \<open>project_nat (s n)\<close>, and an update as \<open>s\<langle>n := 2\<rangle>\<close>, which is 75translated to \<open>s(n := inject_nat 2)\<close>. We can now establish the 76following lemma:\<close> 77 78lemma (in vars) foo: "s<n := 2>\<cdot>b = s\<cdot>b" by simp 79 80text \<open>\noindent Here the simplifier was able to refer to 81distinctness of @{term "b"} and @{term "n"} to solve the equation. 82The resulting lemma is also recorded in locale \<open>vars\<close> for 83later use and is automatically propagated to all its interpretations. 84Here is another example:\<close> 85 86statespace 'a varsX = NB: vars [n=N, b=B] + vars + x::'a 87 88text \<open>\noindent The state space \<open>varsX\<close> imports two copies 89of the state space \<open>vars\<close>, where one has the variables renamed 90to upper-case letters, and adds another variable @{term "x"} of type 91@{typ "'a"}. This type is fixed inside the state space but may get 92instantiated later on, analogous to type parameters of an ML-functor. 93The distinctness assumption is now \<open>distinct [N, B, n, b, x]\<close>, 94from this we can derive both @{term "distinct [N,B]"} and @{term 95"distinct [n,b]"}, the distinction assumptions for the two versions of 96locale \<open>vars\<close> above. Moreover we have all necessary 97projection and injection assumptions available. These assumptions 98together allow us to establish state space @{term "varsX"} as an 99interpretation of both instances of locale @{term "vars"}. Hence we 100inherit both variants of theorem \<open>foo\<close>: \<open>s\<langle>N := 2\<rangle>\<cdot>B = 101s\<cdot>B\<close> as well as \<open>s\<langle>n := 2\<rangle>\<cdot>b = s\<cdot>b\<close>. These are immediate 102consequences of the locale interpretation action. 103 104The declarations for syntax and the distinctness theorems also observe 105the morphisms generated by the locale package due to the renaming 106@{term "n = N"}:\<close> 107 108lemma (in varsX) foo: "s\<langle>N := 2\<rangle>\<cdot>x = s\<cdot>x" by simp 109 110text \<open>To assure scalability towards many distinct names, the 111distinctness predicate is refined to operate on balanced trees. Thus 112we get logarithmic certificates for the distinctness of two names by 113the distinctness of the paths in the tree. Asked for the distinctness 114of two names, our tool produces the paths of the variables in the tree 115(this is implemented in SML, outside the logic) and returns a 116certificate corresponding to the different paths. Merging state 117spaces requires to prove that the combined distinctness assumption 118implies the distinctness assumptions of the components. Such a proof 119is of the order $m \cdot \log n$, where $n$ and $m$ are the number of 120nodes in the larger and smaller tree, respectively.\<close> 121 122text \<open>We continue with more examples.\<close> 123 124statespace 'a foo = 125 f::"nat\<Rightarrow>nat" 126 a::int 127 b::nat 128 c::'a 129 130 131 132lemma (in foo) foo1: 133 shows "s\<langle>a := i\<rangle>\<cdot>a = i" 134 by simp 135 136lemma (in foo) foo2: 137 shows "(s\<langle>a:=i\<rangle>)\<cdot>a = i" 138 by simp 139 140lemma (in foo) foo3: 141 shows "(s\<langle>a:=i\<rangle>)\<cdot>b = s\<cdot>b" 142 by simp 143 144lemma (in foo) foo4: 145 shows "(s\<langle>a:=i,b:=j,c:=k,a:=x\<rangle>) = (s\<langle>b:=j,c:=k,a:=x\<rangle>)" 146 by simp 147 148statespace bar = 149 b::bool 150 c::string 151 152lemma (in bar) bar1: 153 shows "(s\<langle>b:=True\<rangle>)\<cdot>c = s\<cdot>c" 154 by simp 155 156text \<open>You can define a derived state space by inheriting existing state spaces, renaming 157of components if you like, and by declaring new components. 158\<close> 159 160statespace ('a,'b) loo = 'a foo + bar [b=B,c=C] + 161 X::'b 162 163lemma (in loo) loo1: 164 shows "s\<langle>a:=i\<rangle>\<cdot>B = s\<cdot>B" 165proof - 166 thm foo1 167 txt \<open>The Lemma @{thm [source] foo1} from the parent state space 168 is also available here: \begin{center}@{thm foo1}\end{center}\<close> 169 have "s<a:=i>\<cdot>a = i" 170 by (rule foo1) 171 thm bar1 172 txt \<open>Note the renaming of the parameters in Lemma @{thm [source] bar1}: 173 \begin{center}@{thm bar1}\end{center}\<close> 174 have "s<B:=True>\<cdot>C = s\<cdot>C" 175 by (rule bar1) 176 show ?thesis 177 by simp 178qed 179 180 181statespace 'a dup = FA: 'a foo [f=F, a=A] + 'a foo + 182 x::int 183 184lemma (in dup) 185 shows "s<a := i>\<cdot>x = s\<cdot>x" 186 by simp 187 188lemma (in dup) 189 shows "s<A := i>\<cdot>a = s\<cdot>a" 190 by simp 191 192lemma (in dup) 193 shows "s<A := i>\<cdot>x = s\<cdot>x" 194 by simp 195 196 197(* 198text "Hmm, I hoped this would work now..." 199 200locale fooX = foo + 201 assumes "s<a:=i>\<cdot>b = k" 202*) 203 204(* ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ *) 205text \<open>There are known problems with syntax-declarations. They currently 206only work, when the context is already built. Hopefully this will be 207implemented correctly in future Isabelle versions.\<close> 208 209(* 210lemma 211 assumes "foo f a b c p1 i1 p2 i2 p3 i3 p4 i4" 212 shows True 213proof 214 interpret foo [f a b c p1 i1 p2 i2 p3 i3 p4 i4] by fact 215 term "s<a := i>\<cdot>a = i" 216qed 217*) 218(* 219lemma 220 includes foo 221 shows "s<a := i>\<cdot>a = i" 222*) 223 224text \<open>It would be nice to have nested state spaces. This is 225logically no problem. From the locale-implementation side this may be 226something like an 'includes' into a locale. When there is a more 227elaborate locale infrastructure in place this may be an easy exercise. 228\<close> 229 230 231subsection \<open>Benchmarks\<close> 232 233text \<open>Here are some bigger examples for benchmarking.\<close> 234 235ML \<open> 236 fun make_benchmark n = 237 writeln (Active.sendback_markup_command 238 ("statespace benchmark" ^ string_of_int n ^ " =\n" ^ 239 (cat_lines (map (fn i => "A" ^ string_of_int i ^ "::nat") (1 upto n))))); 240\<close> 241 242text "0.2s" 243statespace benchmark100 = A1::nat A2::nat A3::nat A4::nat A5::nat 244A6::nat A7::nat A8::nat A9::nat A10::nat A11::nat A12::nat A13::nat 245A14::nat A15::nat A16::nat A17::nat A18::nat A19::nat A20::nat 246A21::nat A22::nat A23::nat A24::nat A25::nat A26::nat A27::nat 247A28::nat A29::nat A30::nat A31::nat A32::nat A33::nat A34::nat 248A35::nat A36::nat A37::nat A38::nat A39::nat A40::nat A41::nat 249A42::nat A43::nat A44::nat A45::nat A46::nat A47::nat A48::nat 250A49::nat A50::nat A51::nat A52::nat A53::nat A54::nat A55::nat 251A56::nat A57::nat A58::nat A59::nat A60::nat A61::nat A62::nat 252A63::nat A64::nat A65::nat A66::nat A67::nat A68::nat A69::nat 253A70::nat A71::nat A72::nat A73::nat A74::nat A75::nat A76::nat 254A77::nat A78::nat A79::nat A80::nat A81::nat A82::nat A83::nat 255A84::nat A85::nat A86::nat A87::nat A88::nat A89::nat A90::nat 256A91::nat A92::nat A93::nat A94::nat A95::nat A96::nat A97::nat 257A98::nat A99::nat A100::nat 258 259text "2.4s" 260statespace benchmark500 = A1::nat A2::nat A3::nat A4::nat A5::nat 261A6::nat A7::nat A8::nat A9::nat A10::nat A11::nat A12::nat A13::nat 262A14::nat A15::nat A16::nat A17::nat A18::nat A19::nat A20::nat 263A21::nat A22::nat A23::nat A24::nat A25::nat A26::nat A27::nat 264A28::nat A29::nat A30::nat A31::nat A32::nat A33::nat A34::nat 265A35::nat A36::nat A37::nat A38::nat A39::nat A40::nat A41::nat 266A42::nat A43::nat A44::nat A45::nat A46::nat A47::nat A48::nat 267A49::nat A50::nat A51::nat A52::nat A53::nat A54::nat A55::nat 268A56::nat A57::nat A58::nat A59::nat A60::nat A61::nat A62::nat 269A63::nat A64::nat A65::nat A66::nat A67::nat A68::nat A69::nat 270A70::nat A71::nat A72::nat A73::nat A74::nat A75::nat A76::nat 271A77::nat A78::nat A79::nat A80::nat A81::nat A82::nat A83::nat 272A84::nat A85::nat A86::nat A87::nat A88::nat A89::nat A90::nat 273A91::nat A92::nat A93::nat A94::nat A95::nat A96::nat A97::nat 274A98::nat A99::nat A100::nat A101::nat A102::nat A103::nat A104::nat 275A105::nat A106::nat A107::nat A108::nat A109::nat A110::nat A111::nat 276A112::nat A113::nat A114::nat A115::nat A116::nat A117::nat A118::nat 277A119::nat A120::nat A121::nat A122::nat A123::nat A124::nat A125::nat 278A126::nat A127::nat A128::nat A129::nat A130::nat A131::nat A132::nat 279A133::nat A134::nat A135::nat A136::nat A137::nat A138::nat A139::nat 280A140::nat A141::nat A142::nat A143::nat A144::nat A145::nat A146::nat 281A147::nat A148::nat A149::nat A150::nat A151::nat A152::nat A153::nat 282A154::nat A155::nat A156::nat A157::nat A158::nat A159::nat A160::nat 283A161::nat A162::nat A163::nat A164::nat A165::nat A166::nat A167::nat 284A168::nat A169::nat A170::nat A171::nat A172::nat A173::nat A174::nat 285A175::nat A176::nat A177::nat A178::nat A179::nat A180::nat A181::nat 286A182::nat A183::nat A184::nat A185::nat A186::nat A187::nat A188::nat 287A189::nat A190::nat A191::nat A192::nat A193::nat A194::nat A195::nat 288A196::nat A197::nat A198::nat A199::nat A200::nat A201::nat A202::nat 289A203::nat A204::nat A205::nat A206::nat A207::nat A208::nat A209::nat 290A210::nat A211::nat A212::nat A213::nat A214::nat A215::nat A216::nat 291A217::nat A218::nat A219::nat A220::nat A221::nat A222::nat A223::nat 292A224::nat A225::nat A226::nat A227::nat A228::nat A229::nat A230::nat 293A231::nat A232::nat A233::nat A234::nat A235::nat A236::nat A237::nat 294A238::nat A239::nat A240::nat A241::nat A242::nat A243::nat A244::nat 295A245::nat A246::nat A247::nat A248::nat A249::nat A250::nat A251::nat 296A252::nat A253::nat A254::nat A255::nat A256::nat A257::nat A258::nat 297A259::nat A260::nat A261::nat A262::nat A263::nat A264::nat A265::nat 298A266::nat A267::nat A268::nat A269::nat A270::nat A271::nat A272::nat 299A273::nat A274::nat A275::nat A276::nat A277::nat A278::nat A279::nat 300A280::nat A281::nat A282::nat A283::nat A284::nat A285::nat A286::nat 301A287::nat A288::nat A289::nat A290::nat A291::nat A292::nat A293::nat 302A294::nat A295::nat A296::nat A297::nat A298::nat A299::nat A300::nat 303A301::nat A302::nat A303::nat A304::nat A305::nat A306::nat A307::nat 304A308::nat A309::nat A310::nat A311::nat A312::nat A313::nat A314::nat 305A315::nat A316::nat A317::nat A318::nat A319::nat A320::nat A321::nat 306A322::nat A323::nat A324::nat A325::nat A326::nat A327::nat A328::nat 307A329::nat A330::nat A331::nat A332::nat A333::nat A334::nat A335::nat 308A336::nat A337::nat A338::nat A339::nat A340::nat A341::nat A342::nat 309A343::nat A344::nat A345::nat A346::nat A347::nat A348::nat A349::nat 310A350::nat A351::nat A352::nat A353::nat A354::nat A355::nat A356::nat 311A357::nat A358::nat A359::nat A360::nat A361::nat A362::nat A363::nat 312A364::nat A365::nat A366::nat A367::nat A368::nat A369::nat A370::nat 313A371::nat A372::nat A373::nat A374::nat A375::nat A376::nat A377::nat 314A378::nat A379::nat A380::nat A381::nat A382::nat A383::nat A384::nat 315A385::nat A386::nat A387::nat A388::nat A389::nat A390::nat A391::nat 316A392::nat A393::nat A394::nat A395::nat A396::nat A397::nat A398::nat 317A399::nat A400::nat A401::nat A402::nat A403::nat A404::nat A405::nat 318A406::nat A407::nat A408::nat A409::nat A410::nat A411::nat A412::nat 319A413::nat A414::nat A415::nat A416::nat A417::nat A418::nat A419::nat 320A420::nat A421::nat A422::nat A423::nat A424::nat A425::nat A426::nat 321A427::nat A428::nat A429::nat A430::nat A431::nat A432::nat A433::nat 322A434::nat A435::nat A436::nat A437::nat A438::nat A439::nat A440::nat 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